Θεωρία Μηχανών και Μηχανισμών

Το μάθημα αυτό στοχεύει στη μελέτη των Μηχανισμών. Με συστηματικό τρόπο αναπτύσσεται μια μέθοδος για την ανάλυσή τους ώστε να μπορούμε να προσδιορίσουμε την τροχία κάθε σημείου τους κατά την κίνησή τους. Σε κάθε θέση θα υπολογίσουμε επίσης την ταχύτητα και την επιτάχυνση τους ώστε να μπορέσουμε μέσω αυτών να επεκτείνουμε τις γνωστές μας εξισώσεις ισορροπίας στις αντίστοιχες εξισώσεις όπου λαμβάνονται υπόψη και οι αδρανειακές δυνάμεις (εξισώσεις D'Allembert).

Η μέθοδολογία που θα αναπτυχθεί είναι αναλυτική και βασίζεται σε καλά ορισμένα βήματα που μας επιτρέπουν να οδηγηθούμε σταδιακά και σίγουρα στο αποτέλεσμα. Αρκεί να πιάσουμε το "νήμα" από την αρχή και να μη το αφήσουμε ως το τέλος. 

Τα μαθηματικά που θα χρησιμοποιηθούν θα φανούν ιδιαίτερα απαιτητικά από κάποιο εξωτερικό παρατηρητή, όμως θα φροντίσουμε να τα εξηγήσουμε σιγά σιγά έτσι ώστε δε θα παρουσιάσουν καμμιά δυσκολία σε αυτούς που θα κάνουν τον κόπο να παρακολουθήσουν το μάθημα και να κάνουν τις σχετικές δραστηριότητες. Η τελική εξέταση του Ιουνίου, αν εξακολουθήσουν τα μέτρα εξ αποστάσεως θα γίνει με εργασία που θα βασίζεται στα στοιχεία των δραστηριοτήτων που θα κληθείτε να κάνετε στη διάρκεια του μαθήματος. 

Το πρώτο μάθημα είναι καθαρά εισαγωγικό, με λίγα μαθηματικά και συνίσταται στην παρακολούθηση της παρακάτω βιντεοδιάλεξης.

Δείτε τη στο χρόνο που επιθυμείτε, συνεχώς ή με διαλείμματα και όσες φορές θέλετε.

Το μάθημα αφορά την ανάλυση ενός μηχανισμού με σκοπό τον προσδιορισμό ενός συστήματος διανυσματικών εξισώσεων που τον περιγράφουν με απώτερο στόχο την μετατροπή του σε σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων (σε επόμενο μάθημα) με την επίλυση του οποίου μπορούμε να προσδιορίσουμε επακριβώς το σχήμα του μηχανισμού σε κάθε σημείο της κίνησής του.

Το μάθημα θα γίνει με ασύγχρονη τηλεκπαίδευση.

Θα πρέπει για το σκοπό αυτό να αφιερώσετε κάποιο χρόνο στο σπίτι σας, τον οποίο θα επιλέξετε εσείς και ο οποίος μπορεί να είναι συνεχής με επαναλήψεις ή με διαλλείματα. Το μάθημα αποτελείται από μια βίντεο-διάλεξη χωρισμένη σε τμήματα, και διάφορες δραστηριότητες που παρεμβάλλονται.

Να ακολουθήσετε τις οδηγίες παρακολούθησης (στο τέλος του κειμένου).

Στα μέρη της βίντεο-διάλεξης που ακολουθούν καλό είναι να χρησιμοποιήσετε ακουστικά, καθώς, δυστυχώς η ποιότητα του ήχου, δεν ήταν η αναμενόμενη.

Οδηγίες παρακολούθησης

Παρακολουθείστε το πρώτο μέρος της βίντεο-διάλεξης και μετά κάντε τη δραστηριότητα 1.

Πρώτο Μέρος

->Κάντε τη δραστηριότητα 1

Παρακολουθείστε το δεύτερο και το τρίτο μέρος της βίντεο-διάλεξης και μετά κάντε τη δραστηριότητα 2.

Δεύτερο Μέρος

Τρίτο Μέρος

->Κάντε τη δραστηριότητα 2

Το μάθημα αφορά την ανάλυση ενός μηχανισμού με σκοπό την μετατροπή των διανυσματικών εξισώσεων που τον περιγράφουν  σε σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με την επίλυση του οποίου (σε επόμενο μάθημα) μπορούμε να προσδιορίσουμε επακριβώς το σχήμα του μηχανισμού σε κάθε σημείο της κίνησής του.

Το μάθημα θα γίνει με ασύγχρονη τηλεκπαίδευση.

Θα πρέπει για το σκοπό αυτό να αφιερώσετε κάποιο χρόνο στο σπίτι σας, τον οποίο θα επιλέξετε εσείς και ο οποίος μπορεί να είναι συνεχής με επαναλήψεις ή με διαλλείματα. Το μάθημα αποτελείται από μια βίντεο-διάλεξη χωρισμένη σε τμήματα, και διάφορες δραστηριότητες που παρεμβάλλονται.

Να ακολουθήσετε τις οδηγίες παρακολούθησης (στο τέλος του κειμένου).

Στα μέρη της βίντεο-διάλεξης που ακολουθούν καλό είναι να χρησιμοποιήσετε ακουστικά.

Οδηγίες παρακολούθησης

Παρακολουθείστε το πρώτο μέρος της βίντεο-διάλεξης και μετά κάντε τη δραστηριότητα 3.

Κάντε τη δραστηριότητα 3

Παρακολουθείστε το δεύτερο μέρος της βίντεο-διάλεξης.

Παρακολουθείστε το τρίτο μέρος της βίντεο-διάλεξης.

Tο μάθημα αφορά το Γραφικό Προσδιορισμό των τιμών των μεταβλητών ενός μηχανισμού, όταν είναι γνωστή η τιμή της παραμέτρου.

Θα γίνει με ασύγχρονη τηλεκπαίδευση.

Θα πρέπει για το σκοπό αυτό να αφιερώσετε κάποιο χρόνο στο σπίτι σας, τον οποίο θα επιλέξετε εσείς και ο οποίος μπορεί να είναι συνεχής με επαναλήψεις ή με διαλλείματα. Το μάθημα αποτελείται από μια βίντεο-διάλεξη και μία δραστηριότητα.

Στη βιντεοδιάλεξη καλύτερα να φορέσετε ακουστικά.

Δείτε τη  βιντεοδιάλεξη και μετά κάντε και στείλτε εμπρόθεσμα την εργασία: Γραφικός Προσδιορισμός Θέσης Μηχανισμού ΝΕΟ που θα βρείτε στο χώρο εργασίες του eclass του μαθήματος.

Σκοπός του μαθήματος είναι ο προσδιορισμός της θέσης των μελών ενός μηχανισμού με τη χρήση επαναληπτικών μεθόδων.

 Προσδοκώμενα αποτελέσματα

Ολοκληρώνοντας το μαθημα θα είστε σε θέση

• να περιγράφετε τη μαθηματική διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυση Συστημάτων μη Γραμμικών Εξισώσεων
• να αναγνωρίζετε πως ενεργοποιείται ένα εργαλείο του Excel (Solver) για την επίλυση Συστημάτων μη Γραμμικών Εξισώσεων
• να εισάγετε τα στοιχεία του Συστήματος των Εξισώσεων Θέσης ενός Μηχανισμού στο Excel ώστε να είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν από το Solver
• να υπολογίζετε τις μεταβλητές θέσης του μηχανισμού για κάθε σημείο της τροχιάς του.

Οργάνωση. Το μάθημα προσφέρεται με ασύγχρονο τρόπο.

Ασχοληθήκαμε σε προηγούμενο μάθημα με τον προσδιορισμό της της θέσης των μελών ενός μηχανισμού, σε κάποια χρονική στιγμή της κίνησής του με τη χρήση της γραφικής μεθόδου. Η μέθοδος αυτή δίνει ενδεικτικά αποτελέσματα και η επανάληψή της για τον προσδιορισμό της θέσης των μελών ενός μηχανισμού, σε κάθε χρονική στιγμή είναι δύσκολη και χρονοβόρα.

Ο ακριβής προσδιορισμός της θέσης των μελών ενός μηχανισμού, σε κάθε χρονική στιγμή της κίνησής του, είναι πολύ σημαντικός για τη διασφάλιση της λειτουργικότητάς του. Ο κύριος σκοπός εξάλλου της χρήσης των μηχανισμών είναι η κίνηση κάποιων σημείων του σε προκαθορισμένη τροχιά. Όμως ο προσδιορισμός της θέσης των μελών ενός μηχανισμού είναι σημαντικός, όπως θα δούμε στη συνέχεια τόσο για την κινηματική ανάλυση του (ταχύτητες, επιταχύνσεις) όσο και για τη δυναμική ανάλυσή του και τον υπολογισμό της αντοχής του.

Για το σκοπό αυτό καταστρώσαμε το σύστημα των εξισώσεων θέσης.

Το πρόβλημα που παρουσιάζουν οι εξισώσεις θέσης είναι πως είναι μη γραμμικές και συνεπώς δεν επιλύονται αναλυτικά.

Παρακολουθήστε το Video: η επίλυση των συστημάτων μή γραμμικών εξισώσεων με επαναληπτικές μεθόδους.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορες μεθόδους για την επίλυση των συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων.

Μια από αυτές είναι η μέθοδος Newton Raphson.

Δραστηριότητα 1(προαιρετική):

Για να πάρετε μια ιδέα της εφαρμογής της μεθόδου:

• Διαβάστε την ενότητα Nonlinear systems of equations του κειμένου: Η μέθοδος Newton Raphson για την επίλυση των συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων.
• Δείτε το video που παρουσιάζει την εφαρμογή της μεθόδου:Η εφαρμογή της μεθόδου Newton Raphson.

• Κατά την εφαρμογή της παρουσιάζεται η ανάγκη για την αντιστροφή ενός πίνακα (nxn), και συγκεκριμένα του πίνακα Jacobi. Δείτε το video για την αντιστροφή ενός πίνακα: Η αντιστροφή ενός πίνακα (nxn) με τη μέθοδο Cramer.

Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε τα μαθηματικά προβλήματα που αναφέραμε με τη χρήση κάποιου πακέτου λογισμικού με αντίστοιχες δυνατότητες: π.χ. MATLAB, ASCEND(opensource) κλπ.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με ένα ευρύτατα διαθέσιμο εργαλείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση των συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων: το Εργαλείο Επίλυσης του EXCEL ή αλλιώς Solver.

Παρακολουθήστε το video: Εγκατάσταση του Προσθέτου Solver

Δραστηριότητα 2:

Εγκαταστήστε στον Υπολογιστή σας το πρόσθετο Εργαλείο Επίλυσης του EXCEL ή αλλιώς Solver.

Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Solver για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων θέσης ενός μηχανισμού:

Δείτε το Video: Η χρήση του Solver για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων θέσης ενός Μηχανισμού.

Δραστηριότητα 3:

Κάντε την Εργασία Υπολογισμός Θέσης Μηχανισμού με την Χρήση του Πρόσθετου Solver που θα βρείτε στο χώρο εργασίες του μαθήματος και υποβάλετέ την, εμπρόθεσμα,  μέσω του χώρου Εργασίες του eclass του Μαθήματος.