Γραμμική 'Αλγεβρα και Ανάλυση μιας Μεταβλητής

Άγγελος Γιαννούλας

Περιγραφή

Το μάθημα στοχεύει στο αποκτήσουν οι φοιτητές το κατάλληλο μαθηματικό υπόβαθρο - μέθοδοι, διαδικασίες και τεχνικές, ώστε να μπορούν να ανταποκρίνονται στις ανάγκες των απαιτήσεων του προγράμματος σπουδών τους.

Σε αυτό το πλαίσιο επιχειρείται να εμπλουτίσουν οι φοιτητές τον τρόπο σκέψης επίλυσης προβλημάτων και εφαρμόσιμης γνώσης σε πρακτικές εφαρμογές σχετικές του γνωστικού τους αντικειμένου, μα και ταυτόχρονα την ικανότητα για εξερεύνηση και αξιολόγηση όχι μόνο των μαθηματικών παραστάσεων αλλά κατ' επέκταση κάθε επιστημονικής δραστηριότητάς τους.
Η ύλη περιλαμβάνει βασικές έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας, των Μιγαδικών αριθμών και της Ανάλυσης μίας μεταβλητής.

Ενότητες

01. Άλγεβρα Μητρώναπό 25/9/20 έως 1/10/20
  • Ας θυμηθούμε ...
    • Βασικά αριθμητικά σύνολα
    • Καρτεσιανό γινόμενο
    • Συνάρτηση
    • Πολυώνυμα
    • Μέθοδος επαγωγής
    • Απόλυτη τιμή
    • Καρτεσιανό επίπεδο
    • Πυθαγόρειο θεώρημα
    • Εξίσωση ευθείας
    • Γραμμικά συστήματα εξισώσεων
    • Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας
    • Τριγωνομετρικός κύκλος
    • Περιοδικότητα
  • Άλγεβρα Μητρών
    • Τι μελετά η Γραμμική Άλγεβρα
    • Το διάνυσμα
    • Διανυσματικοί χώροι
    • Τι είναι Μήτρα
      • Ειδικές μήτρες
    • Πράξεις με μήτρες
    • Ιδιότητες μητρών
    • Αντίστροφη μήτρα
    • Λύση της Α*Χ=Β
    • Ιδιότητες ανάστροφης μήτρας
02. Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών μήτρας (ΣΜΓ) - Ορίζουσεςαπό 1/10/20 έως 20/11/20
  • Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών μήτρας (ΣΜΓ)
    • Επαυξημένη μήτρα
    • Γραμμοπράξεις
    • Γραμμοϊσοδύναμη μήτρας
    • Απαλοιφή του Gauss (Gaussian Elimination)
    • Απαλοιφή του Gauss- Jordan
    • Θεώρημα αντιστρεψιμότητας
      • Εύρεση της Α-1 μέσω ΣΜΓ
  • Ορίζουσες
    • Ορισμός
    • Ορίζουσα μήτρας 1ης & 2ης τάξης
    • Ορίζουσα μήτρας 3ης τάξης
    • Ορίζουσες & αντιστρεψιμότητα
    • Κανόνας του Cramer
    • Ορίζουσα μήτρας με την μέθοδο Laplace
    • Ιδιότητες ορίζουσας
    • Προσαρτημένη μήτρα (adjoint)
    • Θεώρημα εύρεσης Α-1
    • Θεώρημα γινομένου οριζουσών
03. Ορίζουσες & Γραμμικά συστήματα εξισώσεωναπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Ορίζουσες και όγκος
    • Εμβαδόν και όγκος με ορίζουσα
    • Όγκος τετράεδρου
    • Βαθμός μήτρας (rank)
      • Εύρεση βαθμού μήτρας
  • Γραμμικά συστήματα εξισώσεων
    • Eπίλυση γραμμικών συστημάτων δύο & τριών μεταβλητών
    • Ύπαρξη λύσεων συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τον βαθμό μήτρας
    • Ομογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων 
      • Ομογενή συστήματα με μία και μόνο λύση
      • Ομογενή συστήματα με λύσεις <> 0
04. Ιδιοτιμές / Ιδιοδιανύσματα & Διαγωνοποίηση μητρώναπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Ιδιοτιμές / Ιδιοδιανύσματα μήτρας
    • Ιδιοτιμή & ιδιοδιάνυσμα μιας μήτρας
    • Χαρακτηριστικό πολυώνυμο & χαρακτηριστική εξίσωση
    • Φάσμα μήτρας & φασματική ακτίνα
    • Ιδιοχώρος μήτρας για την ιδιοτιμή λ
      • Διανύσματα βάσης ιδιοχώρου
  • Διαγωνοποίηση μητρών
    • Όμοιες μήτρες
      • Ιδιότητες όμοιων μητρών
    • Διαγωνοποίηση μητρών
      • Κριτήριο Διαγωνοποίησης μητρών
    • Δυνάμεις μητρών
    • Μέθοδος διαγωνοποίησης μητρών
    • Θεώρημα Cayley-Hamilton
    • Εύρεση της A-1 με Cayley-Hamilton
05. Στοιχεία Μιγαδικώναπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Μιγαδικοί αριθμοί
    • Φανταστικοί αριθμοί - Μιγαδικοί αριθμοί
      • Πράξεις στους μιγαδικούς - Ιδιότητες
      • Δυνάμεις μιγαδικών - Ιδιότητες
    • Συζυγής μιγαδικός
    • Γεωμετρική αναπαράσταση
    • Συζυγείς συντεταγμένες
    • Μέτρο μιγαδικού
  • Μορφές μιγαδικών αριθμών
    • Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού
      • Όρισμα μιγαδικού
      • Γεωμετρική ερμηνεία
      • Ιδιότητες τριγωνομετρικής μορφής
    • Θεώρημα του Moivre
    • Μορφή Euler (Εκθετική μορφή)
    • Ορισμός ν-τάξης ρίζας μιγαδικού
    • Διωνυμική εξίσωση
06. Συναρτήσεις - Όρια & Συνέχεια συνάρτησης από 20/11/20 έως 20/11/20
  • Συνάρτηση
    • Συνάρτηση - Ορισμός
      • Γραφική παράσταση
    • Άρτια / Περιττή / 1-1 συνάρτηση
    • Αντίστροφη συνάρτηση
    • Σύνθετες συναρτήσεις
    • Περιοδική συνάρτηση
    • Μονοτονία & ακρότατα συναρτήσεων
  • Όρια συναρτήσεων
    • Μέσος ρυθμός μεταβολής
    • Ορισμός ορίου
      • Πλευρικά όρια
    • Ιδιότητες ορίων
    • Όριο σύνθετης συνάρτησης
  • Άπειρα όρια
    • Άπειρα όρια καθώς x→x0
    • Πεπερασμένα όρια όταν x→±∞
    • Άπειρα όρια όταν x → ±∞
      • Κανόνες ορίων καθώς x → ± ∞
    • Όρια ρητών συναρτήσεων με x → ±∞
    • Όρια συναρτήσεων με αντικατάσταση
    • Όρια πολυωνυμικής/ρητής συνάρτησης με x → ±∞
    • Συμπεριφορά της εκθετικής & της λογαριθμικής συνάρτησης αν x → ±∞
    • Οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες
  • Συνέχεια συναρτήσεων
    • Άτυπος ορισμός - Ορισμός συνέχειας
    • Κριτήριο συνέχειας
    • Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων
    • Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
07. Παράγωγος συνάρτησης - Ιδιότητες παραγώγωναπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Παράγωγος
    • Η έννοια της εφαπτομένης
    • Εύρεση εφαπτομένης
    • Παράγωγος συνάρτηση
    • Ιδιότητες παραγώγου
  • Πλευρικές παράγωγοι - Περιπτώσεις παραγώγων
    • Παράγωγος & Πλευρικές παράγωγοι
    • Θεώρημα παραγώγου & συνέχειας
    • Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής για παραγώγους
    • Παράγωγοι ψηλότερης τάξης
    • Ιδιότητες παραγώγων - ειδικές περιπτώσεις
    • Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης
  • Πεπλεγμένες συναρτήσεις
    • Ορισμός
    • Συλογγισμός (θεωρία) πεπλεγμένων συναρτήσεων
    • Παραγώγιση πεπλεγμένων συναρτήσεων
  • Παράγωγος αντίστροφης - Διαφορικό
    • Θεώρημα παραγώγου της f-1
    • Διαφορικό
      • Γεωμετρική ερμηνεία
    • Πεπλεγμένες συναρτήσεις με ολικό διαφορικό
    • Εύρεσης 2ης παραγώγου πεπλεγμένης συνάρτησης
08. Εφαρμογές παραγώγωναπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Εφαρμογές παραγώγων
    • Ακρότατα
      • Ολικά (απόλυτα) μέγιστα ελάχιστα
      • Τοπικά (σχετικά) ακρότατα
    • Θεώρημα ακρότατων για συνεχείς συναρτήσεις
    • Θεώρημα Fermat
    • Κρίσιμα σημεία
    • Θεώρημα του Rolle
    • Θεώρημα Μέσης Τιμής(ΘΜΤ)
  • Παράγωγος και μονοτονία
    • Κριτήριο 1ης παραγώγου (Κ1ης)
    • Συμπεριφορά της συνάρτησης f με χρήση των ΘΜΤ & Κ1ης
09. Κοιλότητα και Ασύμπτωτες από 20/11/20 έως 20/11/20
  • Κοιλότητα
    • Κυρτή και κοίλη συνάρτηση
    • Κριτήριο 2ης παραγώγου (Κ2ης)
    • Σημεία καμπής
      • Αναζήτηση σημείων καμπής
    • Θεώρημα 2ης παραγώγου για τοπικά ακρότατα
    • Γραφική παράσταση της συνάρτησης f με χρήση του Κ1ης και του Κ2ης
  • Ασύμπτωτες
    • Οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες
    • Πλάγια ασύμπτωτη ρητών συναρτήσεων με βαθμό αριθμητή κατά ένα μεγαλύτερο του παρονομαστή
    • Κανόνες de l’ Hospital
    • Μελέτη & χάραξη του γραφήματος μιας συνάρτησης
    • Πολυωνυμικές / Ρητές συναρτήσεις και ασύμπτωτες
10. Αόριστο Ολοκλήρωμα & Μέθοδοι ολοκλήρωσηςαπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Αόριστο Ολοκλήρωμα
    • Αντιπαράγωγος (ή αρχική συνάρτηση) μιας συνάρτησης
    • Αόριστο ολοκλήρωμα - Ορισμός
      • Βασικά ολοκληρώματα
    • Προβλήματα αρχικής συνθήκης
    • Αλγεβρικοί κανόνες
    • Μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση
  • Μέθοδοι ολοκλήρωσης
    • Μέθοδος Αντικατάστασης
      • Eπίλυση προβλημάτων
    • Μέθοδος μερικών κλασμάτων
    • Μέθοδος Ρητών Συναρτήσεων
      • Eπίλυση προβλημάτων
    • Μέθοδος κατά παράγοντες
      • Eπίλυση προβλημάτων
11. Ορισμένα ολοκληρώματα - Μέθοδοι ολοκλήρωσηςαπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Ορισμένα ολοκληρώματα
    • Άθροισμα Riemann
    • Ολοκλήρωμα Riemann
    • Μέση τιμή συνάρτησης
    • Εμβαδόν κάτω από το γράφημα (f(x)≥0)
    • Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
    • Θεώρημα Μέσης Τιμής (ΘΜΤ) (Ολοκληρωτικού Λογισμού)
    • Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού
      • Θεώρημα ύπαρξης παράγωγου (ΘΥΠ)
      • Θεώρημα υπολογισμού ολοκληρώματος (ΘΥΟ)
  • Μέθοδοι ολοκλήρωσης
    • Ολοκλήρωση κατά παράγοντες
      • Περιπτώσεις κατά παράγοντες
    • Ολοκλήρωση με αντικατάσταση
    • Εμβαδόν μεταξύ καμπύλης & άξονα
    • Εμβαδόν μεταξύ καμπυλών
      • Βήματα εύρεσης εμβαδού μεταξύ καμπυλών
12. Γενικευμένα ολοκληρώματα - Αλγεβρικές διαδικασίεςαπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Γενικευμένα ολοκληρώματα
    • Παραδείγματα υπολογισμού ''άπειρων'' χωρίων
    • Γενικευμένα ολοκληρώματα
      • Άπειρα όρια - Πώς εργαζόμαστε
    • Κριτήρια σύγκλισης ή απόκλισης
      • Κριτήριο της άμεσης σύγκλισης
      • Οριακό κριτήριο του λόγου
    • Το εκθετικό ολοκλήρωμα
  • Αλγεβρικές διαδικασίες
    • Ολοκλήρωση
      • Απλοποίηση με αντικατάσταση
      • Απαλοιφή τετραγωνικής ρίζας
      • Αναγωγή καταχρηστικού κλάσματος
      • Χωρισμός κλάσματος
      • Ολοκλήρωση κατά παράγοντες
      • Επανειλημμένη χρήση
      • Επιλύοντας ως προς το άγνωστο ολοκλήρωμα
      • Μερικά (στοιχειώδη) κλάσματα
    • Παράγωγος
      • Κανόνας l’ Hospital – 1η μορφή
      • Κανόνας l’ Hospital – 2η μορφή (ισχυρή μορφή)
      • Όρια απροσδιόριστης μορφής με χρήση εκθετικής συνάρτησης
13. Ακολουθίες / Σειρέςαπό 20/11/20 έως 20/11/20
  • Ακολουθίες  
    • Ορισμός
    • Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθίας
      • Θεώρημα σύγκλισης πράξεων Ακολουθιών
    • Θεώρημα sandwich
    • Μονοτονία Ακολουθίας
    • Φράγμα Ακολουθίας
  • Άπειρες Σειρές  
    • Ορισμός
    • Σύγκλιση - Απόκλιση Σειράς
    • Ιδιότητες πεπερασμένων αθροισμάτων
    • Γεωμετρική Σειρά
      • Ιδιότητες Γεωμετρικής Σειράς
    • Τηλεσκοπική Σειρά
      • Ιδιότητες Τηλεσκοπικής Σειράς

Ημερολόγιο

Προθεσμία
Γεγονός μαθήματος
Γεγονός συστήματος
Προσωπικό γεγονός

Ανακοινώσεις

  • - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
περισσότερα…