Θεωρία Μηχανών και Μηχανισμών

Σκοπός του μαθήματος είναι ο προσδιορισμός της θέσης των μελών ενός μηχανισμού με τη χρήση επαναληπτικών μεθόδων.

 Προσδοκώμενα αποτελέσματα

Ολοκληρώνοντας το μαθημα θα είστε σε θέση

• να περιγράφετε τη μαθηματική διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυση Συστημάτων μη Γραμμικών Εξισώσεων
• να αναγνωρίζετε πως ενεργοποιείται ένα εργαλείο του Excel (Solver) για την επίλυση Συστημάτων μη Γραμμικών Εξισώσεων
• να εισάγετε τα στοιχεία του Συστήματος των Εξισώσεων Θέσης ενός Μηχανισμού στο Excel ώστε να είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν από το Solver
• να υπολογίζετε τις μεταβλητές θέσης του μηχανισμού για κάθε σημείο της τροχιάς του.

Οργάνωση. Το μάθημα προσφέρεται με ασύγχρονο τρόπο.

Ασχοληθήκαμε σε προηγούμενο μάθημα με τον προσδιορισμό της της θέσης των μελών ενός μηχανισμού, σε κάποια χρονική στιγμή της κίνησής του με τη χρήση της γραφικής μεθόδου. Η μέθοδος αυτή δίνει ενδεικτικά αποτελέσματα και η επανάληψή της για τον προσδιορισμό της θέσης των μελών ενός μηχανισμού, σε κάθε χρονική στιγμή είναι δύσκολη και χρονοβόρα.

Ο ακριβής προσδιορισμός της θέσης των μελών ενός μηχανισμού, σε κάθε χρονική στιγμή της κίνησής του, είναι πολύ σημαντικός για τη διασφάλιση της λειτουργικότητάς του. Ο κύριος σκοπός εξάλλου της χρήσης των μηχανισμών είναι η κίνηση κάποιων σημείων του σε προκαθορισμένη τροχιά. Όμως ο προσδιορισμός της θέσης των μελών ενός μηχανισμού είναι σημαντικός, όπως θα δούμε στη συνέχεια τόσο για την κινηματική ανάλυση του (ταχύτητες, επιταχύνσεις) όσο και για τη δυναμική ανάλυσή του και τον υπολογισμό της αντοχής του.

Για το σκοπό αυτό καταστρώσαμε το σύστημα των εξισώσεων θέσης.

Το πρόβλημα που παρουσιάζουν οι εξισώσεις θέσης είναι πως είναι μη γραμμικές και συνεπώς δεν επιλύονται αναλυτικά.

Παρακολουθήστε το Video: η επίλυση των συστημάτων μή γραμμικών εξισώσεων με επαναληπτικές μεθόδους.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορες μεθόδους για την επίλυση των συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων.

Μια από αυτές είναι η μέθοδος Newton Raphson.

Δραστηριότητα 1(προαιρετική):

Για να πάρετε μια ιδέα της εφαρμογής της μεθόδου:

• Διαβάστε την ενότητα Nonlinear systems of equations του κειμένου: Η μέθοδος Newton Raphson για την επίλυση των συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων.
• Δείτε το video που παρουσιάζει την εφαρμογή της μεθόδου:Η εφαρμογή της μεθόδου Newton Raphson.

• Κατά την εφαρμογή της παρουσιάζεται η ανάγκη για την αντιστροφή ενός πίνακα (nxn), και συγκεκριμένα του πίνακα Jacobi. Δείτε το video για την αντιστροφή ενός πίνακα: Η αντιστροφή ενός πίνακα (nxn) με τη μέθοδο Cramer.

Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε τα μαθηματικά προβλήματα που αναφέραμε με τη χρήση κάποιου πακέτου λογισμικού με αντίστοιχες δυνατότητες: π.χ. MATLAB, ASCEND(opensource) κλπ.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με ένα ευρύτατα διαθέσιμο εργαλείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση των συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων: το Εργαλείο Επίλυσης του EXCEL ή αλλιώς Solver.

Παρακολουθήστε το video: Εγκατάσταση του Προσθέτου Solver

Δραστηριότητα 2:

Εγκαταστήστε στον Υπολογιστή σας το πρόσθετο Εργαλείο Επίλυσης του EXCEL ή αλλιώς Solver.

Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Solver για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων θέσης ενός μηχανισμού:

Δείτε το Video: Η χρήση του Solver για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων θέσης ενός Μηχανισμού.

Δραστηριότητα 3:

Κάντε την Εργασία Υπολογισμός Θέσης Μηχανισμού με την Χρήση του Πρόσθετου Solver που θα βρείτε στο χώρο εργασίες του μαθήματος και υποβάλετέ την, εμπρόθεσμα,  μέσω του χώρου Εργασίες του eclass του Μαθήματος.